Пример решения задачи для студентов первого семестра МФТИ по Математическому анализу (семинары)

Математический анализ (семинары сайта dosolve) с репетитором МФТИ - помощь студентам в решении задач Демидовича и просто из задавальника Физтеха

Покажите, что так же, как и множество Q рациональных чисел, множество чисел вида , есть упорядоченное поле, удовлетворяющее принципу (аксиоме) Архимеда, но не удовлетворяющее аксиоме полноты.

Решение такой задачи по матану репетитором МФТИ оценивается в 2 тыс.руб. на 2012 год:
Принцип - аксиома - Архимеда: в группе G не существует пары элементов a и b,
таких что элемент a бесконечно мал по отношению к элементу b.

Элемент a называется бесконечно малым по отношению к элементу b
(а элемент b — бесконечно большим по отношению к a),
если для любого натурального n имеет место неравенство

Упорядоченное поле — это алгебраическое поле, для всех элементов которого определён линейный порядок, согласованный с операциями поля.
Наиболее важными примерами являются поля рациональных и вещественных чисел.

Единственно, что надо проверить, что сравним с любым рациональным числом.
Эта школьная задача решается возведением в квадрат, если сравниваем положительные числа.

Соответственно формулировка аксиомы Архимеда упрощается: упорядоченное поле обладает свойством Архимеда, если в нем нет бесконечно малых элементов, или, эквивалентно, если в нем нет бесконечно больших элементов.
Если здесь развернуть определение бесконечно малого (или бесконечно большого) элемента, то получим следующую формулировку аксиомы Архимеда:

Для всякого элемента a поля существует натуральный элемент n, такой что n > a.
Или, эквивалентная формулировка:
для всякого положительного элемента поля ε > 0 существует натуральный элемент n,
такой что 1 / n < ε
Это тоже очевидно из школьной математики для элементов a или ε > 0 типа
, т.е. всегда есть бОльший и меньший элементы такого поля.

Для рациональных чисел она не всегда выполняется.
Для примера, рассмотрим два множества:
Легко видеть, что для любых элементов и
выполняется неравенство a < b.
Однако рационального числа ξ, разделяющего эти два множества, не существует.
В самом деле, этим числом может быть только , но оно не является рациональным.

Для множества чисел вида ситуация не лучше.
Одним корнем из 2 её не выправить:

 граничат по корню из 3, который не входит в новоиспечённое множество чисел

Дальше читайте здесь:
Репетитор по математике в Москве Алексей не Колпаков.
Решение задач из сборника Демидовича

Репетитору пишут по скайпу эмоциональные ученики:

Ни фига себе задачки на физтехе решают!
И репетиторы всё это объясняют?
Как такое решить студенту?
Супер!!!