Пример решения задачи для студентов первого семестра МФТИ по Математическому анализу (семинары)

Математический анализ (семинары сайта dosolve) с репетитором МФТИ - помощь студентам в решении задач Демидовича и просто из задавальника Физтеха

Покажите, что так же, как и множество Q рациональных чисел, множество чисел  Q(\sqrt{2}) вида  a+b\sqrt{2},\,a\in Q,\,b\in Q , есть упорядоченное поле, удовлетворяющее принципу (аксиоме) Архимеда, но не удовлетворяющее аксиоме полноты.

Решение такой задачи по матану репетитором МФТИ оценивается в 2 тыс.руб. на 2012 год:
Принцип - аксиома - Архимеда: в группе G не существует пары элементов a и b,
таких что элемент a бесконечно мал по отношению к элементу b.

Элемент a называется бесконечно малым по отношению к элементу b
(а элемент b — бесконечно большим по отношению к a),
если для любого натурального n имеет место неравенство
Упорядоченное поле — это алгебраическое поле, для всех элементов которого определён линейный порядок, согласованный с операциями поля.
Наиболее важными примерами являются поля рациональных и вещественных чисел.
Единственно, что надо проверить, что  sqrt{2} сравним с любым рациональным числом.
Эта школьная задача решается возведением в квадрат, если сравниваем положительные числа.

Соответственно формулировка аксиомы Архимеда упрощается: упорядоченное поле  Q(\sqrt{2}) обладает свойством Архимеда, если в нем нет бесконечно малых элементов, или, эквивалентно, если в нем нет бесконечно больших элементов.
Если здесь развернуть определение бесконечно малого (или бесконечно большого) элемента, то получим следующую формулировку аксиомы Архимеда:

Для всякого элемента a поля  Q(\sqrt{2}) существует натуральный элемент n, такой что n > a.
Или, эквивалентная формулировка:
для всякого положительного элемента поля ε > 0 существует натуральный элемент n,
такой что 1 / n < ε
Это тоже очевидно из школьной математики для элементов a или ε > 0 типа
 a+b\sqrt{2},\,a\in Q,\,b\in Q , т.е. всегда есть бОльший и меньший элементы такого поля.

Для рациональных чисел она не всегда выполняется.
Для примера, рассмотрим два множества: A = \{x \in \mathbb{Q}: x > 0, \; x^2 < 2\}, \quad B = \{x \in \mathbb{Q}: x > 0, \; x^2 > 2\}
Легко видеть, что для любых элементов a \in A и b \in B
выполняется неравенство a < b.
Однако рационального числа ξ, разделяющего эти два множества, не существует.
В самом деле, этим числом может быть только \sqrt{2}, но оно не является рациональным.

Для множества чисел  Q(\sqrt{2}) вида  a+b\sqrt{2},\,a\in Q,\,b\in Q ситуация не лучше.
Одним корнем из 2 её не выправить:
 граничат по корню из 3, который не входит в новоиспечённое множество чисел  Q(\sqrt{2})

Дальше читайте здесь:
Репетитор по математике в Москве Алексей не Колпаков.
Решение задач из сборника Демидовича

Репетитору пишут по скайпу эмоциональные ученики:

Ни фига себе задачки на физтехе решают!
И репетиторы всё это объясняют?
Как такое решить студенту?
Супер!!!

3 комментария:

  1. Сегодня в MIT был экзамен для русских.
    Вот образец:
    Школьные Знания - Английский язык - Перевести на английский с помощью репетитора:
    Перевести на разговорный английский язык.
    1. В городе есть памятник Нельсону. Памятник находится в центре города.
    2. Посреди комнаты стоит стол. Этот стол новый.
    3. Я послал ему письмо. Письмо очень длинное.
    4. Адмирал Горацио Нельсон сдаёт экзамен на чин лейтенанта, как говорят, не зная английского языка.

    ОтветитьУдалить
  2. Я не могу дать вам формулу успеха, но готов предложить формулу неудачи: попробуйте всем понравиться. (Herbert Bayard Swope - Герберт Своуп, американский журналист).
    Сценарий торжественной общешкольной линейки "Первое сентября–2014"
    Им столько предстоит пройти,
    Узнать, обдумать, научиться,
    Решать, читать, писать, трудиться!
    Но это после, а сейчас
    Сюда мы приглашаем вас!
    А сейчас настало время познакомиться с самыми главными учениками-одиннадцатиклассниками!
    ПОДГОТОВКА К ЕГЭ / ГИА: Специально для одиннадцатиклассников.
    твимс - не помогаете на контрольных по твимсу (теория вероятности и мат. статистика)?
    Специально для одиннадцатиклассников, их учителей и родителей! Раз в неделю выполняйте части «A» и «B», раз в две недели пишите сочинение, которое может проверить учитель.
    Узнайте у педагога, готов ли ребёнок к ЕГЭ.
    Дневник сельской учительницы: Учителям-коллегам. Одиннадцатиклассникам.
    Проверяем выполнение по группам, в случае несовпадений, проверяем решение.
    Школьные Знания - Литература - сочинение на тему учитель:
    я ищу преподавателя, который готов проверить решенные одиннадцатиклассником олимпиадные задачи по физике, указать на ошибки и, если будут непонятные места, разъяснить их дистанционно (скайп или электронная почта). Не могли бы вы взяться за такую работу?
    Спасибо за сочинение на тему учитель в моей школьной жизни. Сейчас решает за нас репетитор. Скоро для нас, одиннадцатиклассников, прозвучит серебряная мелодия последнего в школьной жизни звонка. Человек, который всегда готов тебя выслушать и прийти на помощь.
    Методы решения квадратных уравнений и уравнений, к ним сводящиеся решения восьмиклассников проверяют старшеклассники, а одиннадцатиклассники рассказывают, как они решают незнакомые для восьмиклассников уравнения (взаимоконтроль); проверка решения группы (пары) всеми учащимися.
    Кисловская средняя школа - «День воспоминаний полон!»
    Итак, зал готов к линейке, сцена украшена цветами и шариками. После песни в исполнении вокальной группы учителей педагоги подарили одиннадцатиклассникам значки на память о школе.

    ОтветитьУдалить
  3. repetitor007 ТВиМС - это Выход! Теория вероятностей и математическая статистика - ТВиМС
    Диссертация на тему «Методика преподавания элементов теории.
    Рубрика: Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования). Тип: Реферат. Название: Методика преподавания элементов теории вероятностей и математической статистики в профильных физико-математических классах.
    Математика в книгах
    Литература по теории вероятностей и математической статистике (Часть 1). Для студентов технических университетов. Может быть полезен преподавателям и аспирантам.
    Учителя и репетиторы онлайн
    Все предметы. Подбор, запись онлайн. Помощь подбора по телефону, не бесплатно.
    tutor
    Вакансия: преподаватель
    Огромный каталог вакансий и резюме в Москве! Заходи на объявления
    объявление преподавателя твимс в картинках
    Видео преподавателя твимс
    Теория вероятности и математическая статистика
    видеоролик: Помощь по теории вероятностей и математической статистике.
    Регион: Москва. ТВиМС репетитор.
    Книги по теории вероятностей и математической статистике.
    Данная запись будет посвящена книгам по теории вероятностей и математической статистике для школьников и учителей ТВиМС.
    Теории вероятностей и математической статистики
    Зайди на форум преподавателя ТВиМС - Теории вероятностей и математической статистики (собеседники).
    Теория вероятностей и математическая статистика изучают закономерности случайных явлений. Порядок изучения темы: прослушать обзорную лекцию ведущего преподавателя.
    Ключевые слова: теория вероятностей и математическая статистика.
    о преподавании теории вероятностей и математической статистики в колледже с применением компьютерных технологий ТВиМС
    Методические рекомендации преподавателям преподавание дисциплины ТВиМС.
    Преподавание дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» предусматривает: лекции; проведение практических занятий
    Информационные технологии в преподавании теории вероятностей.
    При этом преподавание теории вероятностей и математической статистики зачастую довольно сильно отдаляется от решения задач прикладного характера.
    Учебное пособие: Теория вероятностей и математическая статистика.
    Вопросы для тестирования по курсу. «Теория вероятностей и математическая статистика». Всегда ли ваши преподаватели читают сданные им рефераты?
    Теория вероятностей и математическая статистика. ТВиМС: что изучает.
    Поможем решить задачи по ТВиМС.
    Анна: Спасибо огромное за работу, она была выполнена великолепно, никаких вопросов у преподавателя не возникло.
    ТВиМС

    ОтветитьУдалить